【教育·教学】让“思维发展”在“计算教学”中真实发生

让“思维发展”在“计算教学”中真实发生

——《整数除以分数》的教学思考

无锡市五爱小学    钱丽娜

【摘要】

发展学生的思维，是数学教学的重要组成部分，是数学教师义不容辞的职责，更是每位学生必须具备的核心素养。计算教学是数学教学的基础，是学生应该掌握的基本技能。本文从唤醒旧知、多元表征、大胆猜想、自主构建等四个方面，结合六年级分数除法中《整数除以分数》一课的教学，谈一谈如何让学生“思维的发展”在“计算教学”中真实发生。

【正文】

发展学生的思维，是数学教学的重要组成部分，是数学教师义不容辞的职责。但，“思维”，看不见、摸不着，如何教学？如何训练？如何在平时的课堂中潜移默化地渗透？计算教学中，我们都知道，计算是数学教学的基础，是学生应该掌握的基本技能，如何在计算教学中融入思维训练，是值得每位数学教师深入思考的问题。

《整数除以分数》是苏教版教材六年级上册《分数除法》单元中例2、例3的内容。例1教学了分数除以整数，学生已经初步学习了“分数除以整数”，了解了“分数除以整数等于分数乘整数的倒数”这种转化的方法，例4还将继续学习“分数除以分数”，所以，“整数除以分数”是承上启下的内容。（上图是新授部分内容）

本文从以下四个方面为切入点，结合《整数除以分数》的教学，谈一谈如何让学生“思维发展”在“计算教学”中真实发生。

一、唤醒旧知——为思维发展搭建合适的“坡度”

学生思维的发展不是一蹴而就的，是一个循序渐进地过程，任何知识的习得，也不是凭空而起的，需要搭建适当的“脚手架”。有效地设计复习准备题，可以为思维的发展提供必要的“坡度”。

在教学“整数除以分数”之前，需要唤醒学生的经验有以下三点：①分数乘法，因为“整数除以分数”要转化为分数乘法来计算。②会求一个数的倒数，以上两点为学生提供知识技能的基础。③“分数除以整数”，为这部分内容的学习提供“转化”的经验基础。所以在复习引入时，可以设计这三个方面的练习。例如：1.找一找以下这些数的倒数：1、3、1/2、9/5。说说怎样求一个数的倒数。2.直接说出得数：3/4×1/5=（    ），4×3/2=（    ），10/3÷2=（    ），1/9÷4=（    ）。说说是分数乘法、分数除以整数是怎样算的。

唤醒旧知，即复习准备的设计，一方面强调教师的点拨和引领作用，另一方面则希望通过问题的唤醒、推进、引发学生的思维碰撞，为学生的思维发展找到合适的“坡度”。 

二、多元表征——为思维发展积聚一定的“厚度”

计算技能的习得是比较浅显，容易训练的，比较难的是要知其所以然，也就是掌握算理。而对于算理的理解是因人而异的，每个学生的情况不同，理解力就不同，很多都不能做到一点就通，需要通过多元表征算理的方式，帮助学生的思维发展积聚一定的“厚度”，最终实现质的突破。

本课在教学时，可以充分利用例题图，从实物图到圆片图，再到条形图，最后还可以发展到线段图，按照这样逐步抽象的顺序，通过多次画图，体会“包含分”，最终实现多元表征算理，让学生正真地理解并掌握计算的方法。

直观图的处理，根据图示思考怎样算出“4÷1/2”的得数，同时鼓励学生用不同的方法得到结果。例如，可以根据操作结果直接得出：4个橙子，每人吃1/2个(即半个)，可以分给8人，所以，4÷1/2=8(人)；也可以根据实物图操作的过程得到：1个橙子可以分给2人，4个橙子就可以分给8人，也就是4×2=8(人)。在此基础上，引导学生比较两种不同的算法，并得出下面的等式：4÷1/2=4×2。然后组织讨论：等式中的1/2和2有什么关系？为什么说4÷1/2和4×2相等？以帮助学生初步理解一个数除以几分之一的算理。

圆片图的处理，可以让学生根据题意在图中分—分，把一个圆平均分成3份，把一个圆平均分成4分份。借助直观操作，写出两道算式的得数，再根据得到的结果进一步讨整数除以分数论：4÷1/3=4×(3)和4÷1/4=4×(4)，括号里的数与除数有什么关系？并通过讨论和交流，明确：一个数除以几分之一等于这个数乘几分之一的倒数。

条形图的处理，提出问题后，可以让学生说一说求可以剪成多少段，就是求什么，怎样画图表示4米里面有多少个2/3米。再出示教材中的示意图，让学生在图中分一分，并列式算出结果。由于学生在例2的学习中，已经积累了一定的经验，在画图表示出计算结果后，可能会主动想到先把4÷2/3转化成4×3/2再进行计算。因此，组织交流时，既要重视引导学生借助线段图理解“4÷2/3=6(段)”的道理，又要重视展示学生列式计算的过程。并得出“4÷2/3=4×3/2”的等式，使学生明确：计算4÷2/3，可以把原来的算式转化成4×3/2再进行计算。

三次画图，既带领学生理解了算理，又经历了抽象的过程，同时，在教学中巧用数学多元表征，利用不同表征可以互相补充和转换的作用，能让学生能从不同的角度认识数学对象，从而增强学生对数学概念和原理的深刻理解，促进学生从具体思维向抽象思维的发展。

三、大胆猜想——为思维发展助推适当的“力度”

思维的发展如果只是按部就班的进行，可能会错失很多发展的良机，有时需要能够跳一跳来促成大跨度的发展。大胆猜想，可以为思维的发展提供必要的“力度”，并且通过“猜想——验证——运用”的过程助推思维的发展。

本课教学到例2的第（2）问时，学生已经观察到“等式中的1/2和2有倒数的关系了”， 教学问题（3）时，先出示问题，指名读题，指名口答算式，教师板书4÷1/3，4÷1/4。然后放手让学生猜一猜，这两个算式可以怎么计算？预计学生可以根据第（2）问的计算提出猜想：4÷1/3=4×3=12（人），4÷1/4=4×4=16（人）。谈话：你为什么这么算？仅凭一个例子得到的猜想一定正确吗？让我们再次借助画图的方法分一分、想一想这样计算有没有道理。学生通过独立画图，验证猜想是否正确。最后，展示学生画图的结果。

诸如猜想、验证之类的探究活动，可以把学习的内容融于一个思维维度更开放、思维强度更高、思维空间更广的活动中，让学生去自主发现和提出问题、分析和解决问题，促使学生的思维发展有一定的“力度”。 

 四、自主构建——为思维发展挖掘有效的“深度”

 荷兰数学教育家弗兰登塔尔说过，数学化分为横向数学化和纵向数学化。横向数学化是将现实生活与数学建立联系，纵向数学化是建立数学知识之间的联系。横向数学化比较具体直观，纵向数学化可以发展思维的抽象性。所以，把数学的知识点放到数学的结构里，可以提高思维的深刻性，即“深度”。

在本课的新授部分结束之后，我们可以再次回到起点，让学生观察例2问题（1）中的两个算式4÷2，4÷4也可以转化为乘法计算吗？学生很容易发现：4÷2=4*1/2=2（人），4÷4=4*1/4=1（人）。引起学生自然而然的感叹，原来用今天学的方法也可以解决以前的老问题，知识之间存在着微妙的联系。这样就把一个计算技能，跟以往的知识经验打通关系，建立联系，这里就把“整数除以整数”、“整数除以分数”看似没有联系的两种运算打通，形成一个统一的知识整体。

     帮助学生把握知识结构，进入自主建构学习的积极状态，这样有结构、有逻辑的系统学习，长久以往，一定能形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能、促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟。引导学生在学习过程中边学习边串联，逐步整体化、结构化，让学生的思维走向自主建构的结构化，这样发展学生的数学思维就不再是纸上谈兵。