【教育教学】给学生一个解决问题的依靠

给学生一个解决问题的依靠

——小学低年段“数量关系”的教学

 无锡市扬名中心小学   王芸

【摘要】从解决问题教学的发展来看，低年级学生掌握好数量关系是整个小学阶段解决问题教学的基础。如何做好第一学段的教学，在教学实践中应采取怎样的措施，才能有效地帮助学生掌握好数量关系、理清数量关系，提高解决问题的能力，是值得我们思考与研究的。针对这些问题，本文从教学实际出发，对低年级的数量关系教学进行了一些思考与探索。

【关键词】低年级  分层次   数量关系   辅助教学手段

 陶行知先生曾经说过：“我们需要的教育，要能造就会用脑指挥手，手开动脑的人。”对于数学学习来说，能开动脑解决问题显得尤为重要，所以教给学生正确的方法，让学生养成良好的思维习惯从低年级就应该抓起，就如数学解决问题的重中之重——数量关系来说，有些常教低年级的老师往往会存在教学上的误区，认为数量关系是中高年级才要重视教学的，低年级教学中不安排单独的应用题教学，而把这些内容散落到各种知识点或练习中，教师也不再要求学生清晰的表述数量关系，而只要求能理解就行，这样的教学在低年级时并不能显示出弊端，由于计算方法相对单一，往往学生也能很快地找出解决问题的方法，但是一到中高年级，学生便会因为数量关系知识的缺乏而不能很好分析复杂数学问题，导致解决问题发生困难，所以清楚地理解和表述数量关系从一年级就应该抓起，为今后的学习打下扎实的基础。

一、低年级中的基本数量关系。

小学数学中的数量关系主要涉及基本数量关系和常用数量关系。低年级主要教学基本数量关系，一般有部分数与总数关系，两数相差关系，每份数、份数与总数关系，倍数关系。中高年级中教学中碰到的都是常用数量关系，如单价与数量、总价之间的关系，工作效率与工作时间、工作总量之间的关系，速度与时间、路程的关系，工作效率与工作时间、工作总量之间的关系，等等。而这些常用数量关系的概括也是建立在基本数量关系的基础之上的，所以低年级数量关系的教学就显得尤为重要。

二、分层次逐步夯实数量关系。

小学低年级解决问题教学已经不再单独设置一个单元，而是融合在教材的每一个教学内容之中。所谓“解决问题”其实就是应用题，低年级的“解决问题”大多直接用图画或图文结合的方式呈现，从学生熟悉的素材入手，让学生在熟悉的情境中快乐地学习数学，所以数量关系式在新教材中具有隐蔽性，教师需要挖掘并利用好数量关系。

1、 初步构建，建立意识。

数量关系的教学从一年级上学期在教学“分与合”的内容中就可以呈现并初步构建。10以内数的分与合，包括把一个数分成两个数，以及把两个数合成一个数，这是“分”与“合”思想的具体应用。分与合是一种数学思想，是认识事物的一种方法，是理解加、减法意义的前提，是掌握10以内加法、减法计算的基础，教师在教学中应让学生积极动手操作，并在交流过程中让学生流利地说出“几和几合成几，几可以分成几和几”，从数的分与合中初步感悟总数和部分数的关系。教师在教学中也可以经常问一问学生“哪个是总数呢？”，让学生建立总数和部分数的表象，如在练习中可以增加这样的题目：

学生往往会由于数据的众多而无头绪，如果教师能在这时插入教学总数和部分数关系，强调需要辨认清哪个是总数，哪个是部分数，经过这样的训练，不仅使学生更牢固地掌握分与合，更在脑中建构出“部分数与部分数合成总数，总数可以分成两个部分数”的表象，能更顺理成章地进行后续学习。

2、 深入渗透，形成框架。

从一年级上学期的10以内加减法开始，教师就需要步步深入渗透，让学生逐步形成数量关系的分析能力。

实际问题的教学是在认识了加减法的基础上进行的，学生学习解决的实际问题最初也是加减法运算。加减法的认识大多结合具体情境，如：在教学加减法的初步认识时无论是一图一式、一图两式还是一图四式都要让学生说情境图，说过程，让学生说算式、列算式。

教学实际问题之初，要使学生从动态变化的情境中，学会说三句话。如：原来有3人在浇花，又来了2人，一共有5人。学生能初步理解实际问题的结构，并能分析出“把原来的一部分和来了的一部分合起来就是现在有的总数”。

还要逐步培养学生在脑中想象“合起来”“去掉一部分”的能力。因为并不是所有的情境都有明确的“合起来”与“去掉”的过程。如：左边3朵花，右边2朵花，一共多少朵？白兔与黑兔一共有6只，白兔有2只，黑兔有多少只？只有培养学生能去除加减法意义的表面现象的学习能力，才能突出本质特征，掌握数量关系。  

3、巩固沟联，灵活思维。

在一年级上册的“总数—部分数=部分数”，“原来的—吃了的=剩余的”，“大数—小数=相差数”三个基本数量关系基础上，又衍生出另外的基本数量关系：如“买玩具娃娃，付出50元，找回2元，一个娃娃多少钱？”的应用问题，得到“付出的—找回的=用去的”这一数量关系，并让学生认识到其实“付出的”就是总数，包括了“找回的”和“用去的”这两部分，与“总数—部分数=部分数”进行了融会贯通。

又如：“服装厂里已做了35件上衣，20条裤子，裤子再做多少条就和上衣一样多了？”虽然大部分学生能用减法计算，但是他们并不能分析出这题的数量关系，教师就需让学生认识到：上衣多，裤子少，要求“裤子再做多少条就和上衣一样多”就是求“裤子比上衣少了多少条？”，所以这题是求相差数的实际问题。通过一些问题的设置能帮助学生理清数量关系并能进行前后贯通，达到灵活思维的目的。

4、拓宽思路，扎实思维。

在教学中可以补充分析数量关系的专项训练。根据条件补问题，根据问题补条件，把一步计算的实际问题改为两步计算的实际问题，自编实际问题等，让学生能从已知的两个数量判断可以求出什么数量，用什么方法算；也可以从问题中，想到必须具备什么已知条件，用什么方法计算，从而形成正确的解题思路和方法。

如在根据“12+6”编应用题时，就出现：

① 树上有12只大鸟，6只小鸟，一共有多少只鸟？

② 树上飞走了12只鸟，还有6只鸟，原来有多少只？

③ 树上第一次飞走了12只鸟，第二次飞走了6只，两次共飞走多少只鸟？

    除此以外，还可以鼓励学生在家里，在社会生活中找资料，编应用题练“说”，列出几种算式解答，并鼓励学生说得好，说得新颖，要“别出心裁”。学生对于这种自由度较大的作业，充分发挥智慧，变着法子“说”，受到老师的激励和启发，学生积极性很高，而且又开阔了眼界。

三、“数量关系”教学中的辅助手段。

1、 借助手势，理解数量关系。

    手势在小学低年级数学课堂中的运用是很直观的，如，在学习加减法应用题时，讲解加法含义，就可以用两手掌合拢表示合起来，用加法计算。用食指在空中画一个大圆圈，表示总数，手从中一挥表示从一个数里去掉一部分，用减法计算。通过形象的手势，学生对加减法的含义的理解不仅透彻，记忆也深刻。在教学“植树问题”时，伸出五指，竖在空中向学生演示，以理解非封闭线上植树问题的数量关系。对于封闭的植树问题，教师将大拇指与小拇指靠拢，使得五指形成环状。

2、 运用示意图，降低思维坡度。

（1）借助图形，理解数量关系。

例如在教学《7的加减法》一课中，课始，老师在黑板上画7个粉色的圆形，2个蓝色的圆形，学生说图意后得到7+2=9   2+7=9，之后老师问：“现在几个圆形，分成了几部分，一部分是几，另一部分是几，如果老师把这部分（指2个蓝色的圆形）去掉还剩下几个，怎么写算式，如果把这部分（粉色的圆形）去掉，还剩几个，怎么写算式，得出9-2=7  9-7=2，之后带领学生归纳：这样一幅图我们可以从几方面去思考，一方面是把两部分合起来写加法算式，另一方面是把一个数分成两部分去掉一部分求另一部分写减法算式，之后又通过一系列的练习来帮助学生理解数量关系如，看图写算式，看数写算式，看分成写算式等。

借助最直观的图形或实物图，能让低年级的学生以最快的速度理解和掌握数量关系。

（2）借助结构图，理清数量关系。

用结构图呈现实际问题的数量关系，不仅能促进学生理解题意，更能从中找出解决问题的方法。如：

(1)树上一共有9鸟，飞走了3只，还剩几只？

飞走了3只           ？只

9只

求部分数，总数去掉另一部分，用减法。

(2)树上一共有9只鸟，飞走了一些后还剩3只，飞走了几只？ 

飞走了？只           3只

9只

求部分数，总数去掉另一部分，用减法。

(3)树上飞走了9只小鸟后，还剩3只，树上原来有多少只小鸟？

飞走了9只            还剩3只

？只

求总数，把两部分合起来，用加法。

这种直观的结构图实际上是一个“数学化”的过程，有助于学生理解基本的数量关系。

（3）借助示意图，突破数量关系的难点。

低年级学生，不善于从上下文全面分析数量关系，而对题目中指示计算方法的个别词语的反应特别强烈。如见到“一共”就用加法，“还剩”就用减法。用个别关键词代替对数量关系的分析，削弱了解决实际问题的作用。所以教师在教学中如果能经常教给孩子一些画简易示意图的方法，能让他们思考能力和解决问题的能力得到很大的提高。

如：“树上原来有10只鸟，第一次飞走5只，第二次飞走3只，现在少了多少只鸟？”学生往往根据自己以往经验，看到“少了”一词，立刻用连减计算。教师可以利用简洁的示意图：

根据示意图，教师询问学生：“小鸟为什么会少了？”“少了几只其实就是求什么？”这样学生便会清晰地得到求“少了的只数”就是求“飞走的只数”，而总数10只是多余条件，如果孩子还能潜移默化地把这种画图方法去理解一些其他的应用题定会达到事半功倍的效果。

（4）巧用标记符号，提高灵活思维的能力。

符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展，更能清晰地表示出数量关系。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。

有一道关于条件中出现比多，比少的应用题：

小白兔有25只，小灰兔比小白兔多7只，小灰兔有多少只？

在实际教学中，学生往往会养成遇到“多”用加法做，而遇到“少”用减法做这样的坏习惯，所以如何让孩子能掌握灵巧的思维方式，能让他们“走”得更远对于低年级教师也是相当重要的。在教学中可这样处理：先请同学们读1到2遍题目，找清题目中是谁和谁在比，在这道题目中是白兔和灰兔比，接着根据“小灰兔比小白兔多7只”得到灰兔的只数属于较多数，而白兔的只数属于较少数，然后再看问题属于较多数还是较少数，这儿是求小灰兔，因此是求较多数。到这儿孩子的全题已做好了如下标记：

    进而让学生理解“较少数+相差数=较多数”这个数量关系就游刃有余了，当孩子掌握了这一项思考过程和方法后，他们以后遇到反比的应用题也能游刃有余了，如刚才一题若改为“小白兔有25只，比小灰兔多7只，小灰兔有多少只？”孩子们就能做出如下标记：   

从而得知要求小灰兔是求较少数，用“较多数-相差数=较少数”来进行计算。

孩子还可以边审题边做记号。比如，把已知信息进行分类，每一类信息用不同符号标记出来。还可以把题目中的关键词或者隐含条件进行重点标记，如“不小于”、“是××的N倍”和“比××大N倍”等。所以当孩子学会给合适的题目做上标记，不仅能使他们养成认真审题，有条理思考的习惯，更能提高对于数量关系的理解，拓展思维的发散性。

（5）巧妙结合数轴，让学生“知其所以然”

这是一道低年级常见的练习题。以往我们教学时往往扣住“比谁多”“比谁少”“最多”“最少”这些关键字眼从而让学生得知小军比小芳少，用减法计算，又要求他最少的数量，所以只能减1，但是为什么要减1呢，学生仍是糊糊涂涂，并不十分清楚明了。

那怎样才能让学生更清晰的明了加减的关系呢，结合一二年级以往接触过的数轴，笔者就在教学中加入了数轴的运用。以下就是笔者在教学中的片段：

师：读完这些信息，你觉得小芳应该在数轴上的大致哪个点？为什么呢？

生：因为小军比小芳少，小强比小芳多，小芳跳的数量应该在小军和小强之间。

根据小军比小芳少，问：小军应该在哪个范围内呢？

生立即回答：在小芳左边的范围内。

师：那这个范围内有哪些数呢？

生：19、18、17、……2、1、0

师：那你觉得小军跳多少下呢？为什么？

生：求的是小军跳的最多的数量，在这个范围内，最大的数是19。

师：所以我们可以用20-1=19（下），算出小芳的跳绳数。现在你们明白为什么要减1了吧？

学生开心地点头。

同理教授小强的跳绳数。

在这个教学案例中，通过运用数轴，让学生更清楚地明了数量之间的关系，也渗透了极限的思想。

其实在低年级中常见到数轴，如一年级的认数，二年级的认数，乘法中的运算。数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化，更利于学生理清数量关系，从本质上把握数量关系的分析和理解运用能力。

数量关系的分析是解决问题的最重要的策略之一，让学生切实的感悟数量关系，并使用数量关系去分析解决问题，可以避免学生仅仅依靠对题中某些词语的臆断或盲目尝试来选择算法，既培养了学生的解题能力，又初步发展了学生的分析、推理能力，为今后解决更复杂的解决问题打下基础。