【教育教学】找准核心素养指向 关注课堂教学诊断

找准核心素养指向  关注课堂教学诊断

——对《完全平方公式推到及简单应用》一课另类解读

无锡市侨谊实验中学   朱宸材

义务教育阶段苏科版七年级下册数学教材中，“完全平方公式”内容总共安排了两个课时，其中完全平方公式的推导及简单运用1课时，完全平方公式与平方差公式（前一节内容）的综合运用1课时。在这样的课时安排下，本节课（第1课时）的知识与技能目标主要是两个：一是能推导完全平方公式；二是能运用完全平方公式简化运算。用建构主义的观点来看，前者就是将完全平方公式作为“多项式乘多项式”的一个下位学习，因为“推导”首先就是要解决“从哪里来”的问题。后者其实就是要让学生形成一个关于完全平方公式的“产生式”：一旦“条件”具备，立即对应到“行动（方法）”。显然，对“条件”的分析必然从背景（多项式乘多项式）开始；对“行动”的认识必然归结到运用结果。这其实就是从一个结构特征的分析开始，以一个结构特征的构建为目标。也就是说，“能运用公式”不是通过死记硬背来实现公式的形式套用，而是对公式的本质特征（包括公式背景、运用条件、运用方法、运用结果）达到关系性的理解和价值性的认识。这样的认识必须在公式推导的过程中才能有效落实，其实也应当是“推导”的核心任务。由此可见，作为完成平方公式的第1课时，本节课的教学重点应该放在公式的推导过程上。

以“完全平方公式的推导”为课题，首先从结构特征上回顾了平方差公式，然后通过正方形面积的计算让学生发现、猜想、完全平方公式，最后再从“数”的角度进行推理（运算也是推理）验证。这个过程中，执教者需要注重前后知识学习方法上的类比，使得本节课所学的完全平方公式与前一节课所学的平方差公式一同建构为“多项式乘多项式”的下位概念。“数形结合”的运用，体现了从直观到抽象、从合情推理到演绎推理的思维路径。

一、教学难点的认识与突破

所谓难点，就是学生理解上的“困惑点”或者应用中的“易错点”。教师对于难点的把握，关键在“理解学生”，而“理解学生”的能力主要来自于教学实践中对学生学习过程的观察与诊断。就笔者多年的教学经验来看，学生在完全平方的学习中经常出现的错误主要有以下三种：一是将直接写成，二是遇到类似、这种情形出现符号错误；三是当中间符号（其实是第二项符号）为“－”时，顽固地在“尾平方”前加“－”。分析这三种典型错误，其中第一类其实是一种“错误的推广”（罗增儒语）。因为之前刚学过，所以学生就很容易不假思索地将此“推广”到。对于这种错误，教师要提醒学生“遵从算理”，关注结构上的差别：前者实质是单项式乘单项式，后者实质上是多项式乘多项式，运算法则不同。第二、三类错误其实都是学生僵化形式特征（比如记忆口诀“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，符号看前方”）导致的。其中第二类主要是“符号看前方”惹的祸；第三类主要是对“尾平方”的错误认识（“尾”没有连同符号）。另外，在综合运用乘法公式的时候，普遍存在的问题是学生对于，这样的“非标准形式”（即没有写成括号平方的形式）不能识别或者错误识别。这些都能说明，学生在完全平方公式的学习中的常见的认识错误本质上都是对公式的结构特征缺乏深入本质的认识，只是浅层形式上的死记硬背加生搬硬套。也就是说，完全平方公式学习的难点就在领会公式的本质结构。因此，从重、难点之间的关系来看，本节课的教学难点是包含在前述的教学重点之中的。

二、教学重点的集中呈现

基于以上认识来分析，执教者需要更加注重公式的推导过程，事实上，完全平方公式的推导是本节课的重点，但如果其中的教学难点得不到有效突破，教学的价值与意义就大打折扣了。如果不是为了“掌握公式的结构特征”，单纯“推导完全平方公式”是很简单的：学生已经学过了“多项式乘多项式”，按法则运算得到结果，然后标记为“公式”，有什么困难呢？至于“了解公式的几何背景”，因为“用图形面积来表征乘法运算”在多项式乘法的教学中多次使用（从“单项式乘多项式”到“多项式乘多项式”、“平方差公式”都用过），所以学生也是不难“了解”的。如果教学仅仅为了完整呈现这些内容，就显得没有必要了。其实，在的“两种方法呈现的基础上不妨更进一步：提供适当变式，让学生运用公式的过程中进归纳与概括，进而使学生认识到“两项式的完全平方，等于两项的平方和再加上两项积的2倍”。这样，就是让学生以“代数和”的眼光完全摆脱符号上的纠结。不得不承认，课例在这方面存在欠缺，没有对难点进行“精准打击”和有效突破。

三、通过数学思想方法的渗透来促进核心素养的发展

   从核心素养的视角来看，本节课的一个重要特点是执教者在重难点突破的过程中特别注重通过数学思想方法的教学渗透来落实核心素养。课在几何背景的揭示之后，点明了其中蕴含的“整体与部分”、“数形结合思想”；在处理新知识时联系过往学习经验，指出这是“类比思想”；通过两种方法求得结果之后，点明了其中的“转化（化归）思想”；在两个乘法公式的形式对比之后，指出它们共同体现了数学“从一般到特殊的思想”。在课最后总结的时候，执教者还以思维导图的形式对整节课涉及到的数学思想方法做了梳理回顾。从这些表现不难看出，执教者充分认识到了数学思想方法与数学核心素养之间的关系，找到了发展学生核心素养的有效“抓手”。事实上，“掌握了数学思想方法，并能自觉运用其解决数学问题，成为一种习惯，内化为个人知识结构的一部分，就成为了个人数学素养的一个有机组成部分。也就是说，数学思想方法的掌握及合理运用正是在操作层面上数学核心素养的体现。”比如，数形结合思想就是几何直观能力的一个具体表现，对应于直观想象素养；“从一般到特殊”是“强抽象”的过程，既是数学抽象素养的一个具体表现，又是发展逻辑推理素养的基本途径；类比、化归思想作为最基本数学思维方法，在核心素养的整体发展过程中都具有奠基与促进作用……因此，“以数学思想方法为抓手，探寻思想方法教学的有效途径，以此为基础逐步构建学生的数学核心素养，是课堂教学中落实核心素养的一个切实可行的做法。”

四、在思想方法与核心素养层面给予教学侧重

在为了“核心素养落地”所做的努力的同时，笔者发现该课在数学思想方法的渗透与传递过程中需要对教学进行侧重。通常，我们对教学重点与教学难点的思辨，主要着眼于知识与技能层面的显性目标，对于“数学思考”、“问题解决”乃至“情感态度价值观”等高阶的、更具有“素养”特征的隐性目标，往往缺乏必要的价值思辨与轻重权衡。这样的情况，在本节课中表现较为突出。在短短的几分钟的时间内，一连串的“数学思想方法”陆续登场，汇集到一起。当课把各种思想方法包装成一个“大礼包”传递给学生的时候，学生反而应接不睱、难于消化吸收。事实上，一节课与其在思想方法上“贴标签”或者“蜻蜓点水”式地求多、求全，不如侧重于其中最体现教学内容核心价值的某一方面，用心把它做细、做透，让学生切切实实地感受到其思想特征与应用价值。在“完全平方公式”这节课，所谓的数形结合、类比、化归等思想当然是存在的（数学无处不化归）。但是，我们需要思辨的是公式推导过程当中最核心的、最具价值的思想方法是什么。提出这样的思辨，并不是指不同数学思想方法之间在什么优劣高下之分，而是因为特定的教学内容往往更适合阐释（或者说表现）某种数学思想方法。在素养层面也是这样：“虽然数学核心素养在‘关键能力’上指向的六个方面不是相互独立的，但是具体某一课时知识内容的教学价值往往集中于其中的某一个方面。”就“完全平方公式”这一内容来说，笔者认为公式的“发现”和“提炼”过程更适合用来渗透“从一般到特殊”的思想，提升学生从具体到抽象的归纳、概括能力。关于这一点，章建跃博士曾明确指出：“乘法公式的教学中，……要渗透归纳的意识，让学生体会从一般到特殊的思想，因为‘考察特例’是数学研究的‘基本套路’”，具有广泛的适用性。”

由此可见，即使在数学思想方法与核心素养层面，“面面俱到”也是不可取的，因为贪多必定略精。正确的做法，是结合具体教学内容的特点进行适当的权衡取舍，让教学具有一定的侧重性。事实上，对于一节课而言，帮助学生突破难点才是最务实的，毕竟这是学生“寻求帮助”的根本动力和现实需求。从学习者的学习感受来说，通一节课的学习，破解自主学习过程中的一个困惑与疑难，这是最底层的需求；如果能在困难得解的过程中切实体会到某一种数学思想方法的内涵与价值（或者仅仅是一种“意蕴”），则善莫大焉！相反，如果最底层的需求都未能满足，那么一切“上层建筑”皆是虚幻！