【教育·教学】“画图”引领数学思考，“主动”激发深度学习

       

“画图”引领数学思考，“主动”激发深度学习

——以《解决问题的策略》一课为例

无锡市惠山小学    王欣

 

摘要：画图策略教学的目标不仅在于要让学生“会解决实际问题”，更在于让学生经历并体验策略的形成过程，获得对策略内涵的认识与理解。在面对数量关系比较隐蔽或稍复杂的长方形面积计算问题时，相当一部分学生对于为什么画、怎样画，画完之后怎样想并不明晰。因此，本文从上述三方面入手，强化需求，细化指导，以促使学生在解决问题的同时掌握画图方法，感悟画图策略，从而形成“爱策略、用策略”的意识。

背景描述：解决问题策略是苏教版教材的一大亮点。学生学会解决问题的常用方法，是社会生活中一项十分重要的活动。积累相关经验，必须具有解决新颖的、比较难的问题的信心与能力。“策略”能够提高解决问题的效率，获得良好的效果。形成解决问题的策略是发展思维的重要渠道，尤其对培养实践能力和创新精神有积极的意义。例如解题策略中的画图策略主要蕴含的是数形结合的思想和具体画图的方法。

 

为了了解学生画图策略的现状，更好地改进策略教学，故设计了一次问卷调查，对四年级一个人数为40人的样本班进行了抽样调查。目的旨在通过调查，寻找、诊断、分析问题及原因所在，优化策略教学，提高教学效率，发展学生思维。问卷涉及“和差问题”、“周期问题”、 “重叠问题”、“植树问题”四种基本题型共4题，汇总如下表：

题型	不画图列式		画图列式		合计
	做对人数	百分比	做对人数	百分比
和差问题”	13	32.5%	3	7.5%	40%
周期问题	10	25%	4	10%	35%
重叠问题	14	35%	2	5%	40%
植树问题	21	52.5%	9	22.5%	75%

从中可以看出，学生对于策略的了解与运用并不是一张白纸，学生之间有差异，但普遍存在的问题是，大多数学生不想画图，也不会画图。

很多中高年级的老师常常启发学生：“不会做的题，画画线段图。”然而很多学生总是“启而不发”。究其原因，他们有的看了题根本画不出线段图，有的画的与题意不相符合，也无助于解题。一切教学活动都必须以调动学生的积极性、主动性、创造性为出发点，引导学生主动探索，积极思维，通过自己的活动达到生动活泼的发展。这是因为;事物发展的根本原因在于事物内部的矛盾性。学生的发展归根结底必须依赖其自身的主观努力。一切外在影响因素只有转化为学生的内在需要，引起学生强烈追求和主动进取时，才能发挥其对学生身心素质的巨大塑造力。下面结合《解决问题的策略——画图》的第1课时，谈谈自己的实践与思考：

一、从需求入手，产生想画图的愿望

在平时的教学中我们不难发现，许多学生会做的不画图，不会做的想不到画图。因此要让画图策略能够深入学生心中，就要让学生在思考的过程中产生画图的需要，从而帮助学生不断体会画图策略的价值和作用。

【片段1】

课前引入：

师：话说喜洋洋肩负重要的使命，要去月球寻找父母留下的甜甜树实验室，那么，甜甜树实验室在哪呢？（播放录音：从糖果城出发，先向北走100米，再向东走200米，最后向南走300米，就到达雪糕城，甜甜树实验室就藏在这儿。）

（学生有的在记录，有的在比划）

师：雪糕城大概在糖果城的什么位置？

生1：来不及记

生2：东南面

师：你是怎么知道的？

生比划了一下

师：其实他就是在头脑中画了一幅示意图。

师出示图1：怎么在东面？

图1                     图2

                                                               

生：图上的长度画的不对

师出示图2：看来，画图时不光要注意方向，还要注意长度

思考：从上述案例我们不难发现，通过预设这样一个有意义的情境，能够立刻引起学生的共鸣，体会画示意图比文字叙述更为简明，从而萌生画图需要。同时自主得出：画图时还必须注意长度比例，否则就会“失之毫厘，差之千里”。其实不光路线图如此，下面要学习的面积图和线段图也是如此，恰当的比例是画图的基本要素之一，便于把隐蔽的数量关系直观化。

二、从方法入手，细化对画图的指导

从我们的试教中发现，大多数学生对画图的步骤和技巧是完全陌生的。以课本上的第一道例题为例，学生的试画情况如下：

①	②	③	④
4.9%	43.9%	12.2%	39%

由此引发了我们的思考：虽然我们不应把这节课上成一节作图课，但如果学生对于画图的基本方法尚未未掌握，何谈运用画图的策略来解决问题呢？因此，我们应重视对画图方法的指导，只有当学生所画的示意图符合题意时，才能达到整理条件和问题、分析数量关系，进而解题问题的目的。

那么，教师应如何指导呢？我们认为既不是告诉他们怎样画，也不是把画成的图展现给他们。而是通过一些细节和关键处的预设，让学生在感悟中收获方法。

1、在夸张中细化

【片段2】

(出示例题：有一块长方形的花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？)

……

师：你打算先画什么

生：先画一个长方形。

师：你是根据题中的那句话来画的？

生：第一句话。

师：是啊，在画的时候，我们也要一定的顺序来整理条件和问题。

师：怎么表示“长增加了3米”呢？

生：（上黑板指一指）

师：（故意画的比较长）是这样吗？

生：不对。

师：那该画多长？

生：因为原来的长是8米，所以在表示增加3米的时候要画的比原来长的一半少一点。

师范画到如图3：               

                   图3

师：刚刚有些同学画到这不知道怎么画下去了，干脆直接连起来得了？

生：不行，不行！

师：为什么不行？

生1：两条长应该同时增加。

生2：连起来增加的面积变成一个三角形了，增加的面积应该还是一个长方形。

师：两条长同时增加，那宽呢？

生：宽不变。

师：对，所以我们只要把宽平移。

……

思考：在画图的过程中，教师同样应让学生明确操作的“序”。有时我们应顺着事情的发展、变化来画；有时我们应从结果倒推往前画。不管采用何种方法，我们都应引导学生按一定的顺序来画。同时，根据学生的实际情况，两次采用了夸张的方法。第一次的目的是使学生再次明确画面积图也要注意长度比例；第二次，让学生明确长增加，应该是两条长同时增加，宽是不变的，增加的部分仍然是一个长方形。从我们两次试教的情况来看，第二次的夸张对于帮助学生走出思维定势，解决长、宽同时增加的问题有着积极的意义。

2、在操作中细化

【片段3】

试一试：小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？

师：这道题与上一题有何不同？

生1：刚刚是长增加，现在是宽减少

生2：刚刚是宽不变，现在是长不变

生3：一个是求原来的面积，一个是求现在的面积。

师：这儿有一张长方形纸，如果把它的宽看做20米，你会表示宽减少5米吗？

(一生上来折：沿着长对折了两次）

师：怎么表示宽减少5米？

生：先对折2次，再往里折一份

师：你为什么想到对折两次呢？

生：因为20里面有4个5，所以只要把宽平均分成4份。

师：大家觉得这样折好不好？

生：我觉得非常好，这样可以看出现在的面积就是减少的面积的3倍，只要把150乘3就可以了。

师：如果没有纸怎么办？

生：我们可以画图。

……

思考：我们在试教中发现，学生画图表示“宽减少”的情况时错误率更高。有的往外画了；有的虽然往里画了，但长度却标注错了。归根结底还是对这一概念缺乏直观的感性认识。因此我们在这里设计了一个用彩纸折的操作活动。通过动手折一折，观察图形的变化，在头脑中建立“宽减少”的表象，给学生一个感性的支撑。这样，学生画图时就能“有的放矢”，避免盲目乱画了。同时，由于前面引入环节与教学例题环节中对作图长度比例的细化处理，学生的生成是令人惊喜的。他们敏锐地捕捉到5米与20米之间的倍数关系，精准的用宽4等分的方法表示减少的面积，从而得出用减少的面积乘3来算现在的面积这一简捷的算法，进一步凸显了画图的优势，令人深刻感受到数形结合的魅力以及准确的比例对于揭示内在隐蔽数量关系的积极意义。在这一个过程中，学生的收获是多元的，对画图策略的感悟也逐步走向深入。

3、在对比中细化

对于例题之间的异同，我们应进行有效对比，沟通联系，弄清区别，这将有利于使学生进一步掌握方法，领会关键，形成策略。例如：在出示试一试之后，先引导学生将其与例题比较，有何不同？得出一题是长增加，一题是宽减少；一题是宽不变，一题是长不变；一题是求原来面积，一题是求现在面积。从区别入手引导解题，因为这里的区别就决定了作图上的差异。解答完成后再次引导学生回顾：虽然这两题有一些不同，但也有相同的地方，你们发现了吗？得出这两题的长方形的长和宽中都有一个是未知的，因而无法直接求面积，所以采用了画图的策略；都是先根据变化的面积和变化的长或宽来求不变量。

再如：两题练一练之后我们安排了第二次对比。

长增加6米，或者宽增加4米         长增加6米，宽增加4米

6米

增加48平方米

4米

6米

增加48平方米

4米

 

图5

图4

                                        

通过对比使学生明确：图3是长变化或者宽变化所引起的面积变化，图4是长与宽同时变化引起的面积变化。这两种情况画出的示意图不同，分析与解的方法也不同。

三、画画说说，让画图为解题服务

1、让思考方法从综合走向分析

学生在画图的过程中，经历了把抽象的文字形象化地过程。接下来，我们应当引导学生从具象化了的图像中找寻已知条件和所求问题之间的联系，从而形成正确解题思路。在第一学段，学生更多是采用综合法来解决问题，随着年级的升高，问题的复杂化，分析法逐渐显示出其优势。例如例2是求现在的面积，许多学生容易范的错误就是求出原来的面积。运用分析法就能较好的改善这一问题。从问题出发，即要求现在的面积必须知道现在的长和宽，现在的长可以根据什么和什么来求，现在的宽可以根据什么和什么来求。画图只是一种工具，其本质是为了解决问题，因此在画图之后应有意识的引导学生分析数量关系，从而发展思考问题的方法和解决问题的能力。

2、让解题策略从单一走向多元

学生对策略价值的体验认可，需要在实际运用的过程中才能产生。教师应引导学生在策略的运用中由单一走向多元。不同的题目可以采用同一种策略，同一道题目可以采用不同策略。因而教师应努力尊重学生的主观体验，激发学生的参与的广度与深度，从而获得积极的情感体验。

例如练一练中的第二题：张庄小学原来有一个长方形操场，长50米，宽40米。扩建校园时，操场的长增加了10米，宽增加了8米。操场的面积增加了多少平方米？

这道题可以用以前所学的列表策略，也可以用今天所学的画图策略。但对于一些学困生，他们更喜欢采用列表法把大面积减小面积。即使同样采用画图策略，由于思考角度不同，学生所呈现出的画法不同，因此解决问题的方法也不同。下面是三位学生的不同画法：

10米

8米

50米

生1

生2

40米

50米

10米

40米

8米

50米

10米

40米

8米

生3

显然，生3的画法是错误的，但是，令我们欣喜的是，由于有了前面例题中对画法指导的细化处理，学生的错误率大为降低。对于生3的错误，生1用自己的图进行了形象的诠释：长与宽同时增加，可分两步操作，第一步，长增加10米，把宽平移；第二步，宽增加8米，把增加后的长平移，就得到了图1。而图3的错误就在于第二次没有把增加后的长平移。

总之，在画图策略的教学中，想画图、画好图、用好图这几个环节是缺一不可的。其中，画图方法的指导更是重中之重，不容忽视。我们只有关注学生的真实现状，了解学生的真实困惑，精心预设，细致指导，才能使画图真正为学生所想用、所会用、所乐用，才能从中提炼思想方法，提升解题策略，使画图策略真正成为解题的好帮手。

参考文献：

1、《怎样解题》，[美]波利亚，上海科技教育出版社；

2、《数学学习论》，马忠林，广西教育出版社；

3、《解决问题的策略——画图》单元教材分析，沈重予，小学数学教学网；

4、《数学解题策略》，朱华伟、钱展望著，科学出版社。